2.1.1 Definición, propiedades y operaciones básicas de conjuntos
DEFINICIÓN
Conjunto: Es una colección de objetos o entidades distinguibles y bien definidas. Los
objetos (números, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se les
llama miembros o elementos del
conjunto.
Normalmente se utilizan letras
mayúsculas A, B,
X, Y …. Para denotar Conjuntos
Y para denotar a los elementos se
utilizan letras minúsculas a,b,c,…, números, símbolos o variables.
Un conjunto puede ser definido como:
Explícitamente: Escribiendo cada uno de los
elementos que componen el conjunto dentro de llaves o separados por una coma.
EJEMPLO:
1.- Sea A
el conjunto de los colores primarios.
A= { rojo,amarillo, azul }
Implícitamente: Escribiendo dentro de las llaves
las características de los elementos que pertenecen al conjunto.
EJEMPLO:
Sea A
es el conjunto de los colores primarios
Se
escribe A= {x/x es un color primario}
Y se
lee El conjunto de todas las x tales que
x es una vocal
PROPIEDADES
Relación de pertenencia: Un elemento pertenece a
un conjunto si forma parte de su lista de elementos.
Se representa de la siguiente
manera:
Elemento є
conjunto …….. Se
lee elemento pertenece a conjunto
Elemento ∉ conjunto ……. Se lee elemento NO
pertenece a conjunto
EJEMPLO:
rojo є
A Se lee
…… rojo Pertenece al conjunto A
3 ∉ A
Se
lee …… 3 No pertenece al conjunto A
Conjunto bien definido: Podemos decir que un conjunto esta
bien definido si
podemos afirmar de manera inequívoca si un elemento pertenece a él o no.
1.Sea
T el conjunto de las personas simpáticas
Este
conjunto no esta bien definido ya que la idea de ser simpático es
subjetiva,
No hay un criterio definido para decir que una persona es
simpática
o no
2.Un
conjunto es FINITO
cuando podemos listar todos sus elementos
3.Un
conjunto es INFINITO
si no podemos listar todos sus elementos
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Igualdad de conjuntos: Decimos que dos conjuntos A y B son
iguales (A = B ) si todos los elementos de
A pertenecen a B.
EJEMPLO:
Si
M=
{ 1, 3, 5, 7, 9 } y
L=
{x/x
es
impar 1
≥ x ≤ 9 }
Esto significa que
M=L
SUBCONJUNTO: Si cada elemento de un conjunto A
es también elemento de un conjunto B, entonces A se llama Subconjunto de B.
NOTA: A
no es un subconjunto de B, es
decir si por
lo menos un elemento de A no pertenece a B.
EJEMPLO:
Considere los siguientes conjuntos:
A={ rojo, amarillo, azul, verde} B={ rojo, amarillo, violeta, azul, naranja} C={ rojo, amarillo }
C ⊂ A
y C ⊂ B,
Ya que rojo y amarillo los, elementos de C,
también son elementos de A y B.
B ⊄ A
Ya que algunos de sus elementos como el violeta y naranja no
pertenecen a A
o se que no todos lo elementos de B
son elementos de A.
CONJUNTOS ESPECIALES
Conjunto vacío: Un conjunto VACIO es el que carece
de elementos, se simboliza { } o por Ø
.
EJEMPLO:
El conjunto cuyos miembros
son los hombres que viven actualmente con mas 500 años de edad.
Conjunto universal o universo: Cuando se habla o se piensa acerca
de los conjuntos es conveniente saber que los miembros de un conjunto dado
pertenece a alguna población determinada.
El conjunto Universal o Universo se denomina : U
EJEMPLO:
Si U=N, el conjunto de los números naturales
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B={ x/x es un numero primo }
C = { x/x es un numero natural par }
A, B y C son subconjuntos
propios de U.
Conjunto Partes: Dado un conjunto A, el conjunto de partes de A, denominado por
P(A), es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.
EJEMPLO:
Si
A = { a, b, c } entonces
P(A)={ {a},
{b},
{c},
{ a,
b }, { a, c },
{ b,
c }, { a, b, c,
}, {Ø}
}
•Los elementos del Conjunto P(A) son a
su vez conjunto.
•Un conjunto cuyos miembros son
conjuntos se llama Familia de Conjuntos.
•P(A)
es un ejemplo de una familia de conjuntos.
Diagrama de Venn: Son una manera esquemática de representar los conjuntos y los
conceptos de la teoría de conjuntos. Constituyen un auxiliar didáctico valioso para visualizar las
relaciones de: Pertenencia, Inclusión y las Operaciones con conjuntos.
NOTA:
-El Rectángulo representa
conjunto Universal
-Los círculos se han
utilizado para representar a cada uno de los conjuntos.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A
y B, denominada por A U B que se lee A
unión B, es el nuevo Conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B o a ambos conjuntos.
EJEMPLO:
Si A={ lunes, martes, miércoles } B= { miércoles, jueves, viernes }
Entonces:
A U B ={ lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}
NOTA:
En el diagrama de Venn, la región sombreada corresponde al conjunto
A U B.
Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, denotada A ∩ B, que se lee
A intersección B. Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, por los
elementos comunes a ambos conjuntos.
EJEMPLO:
Si A={ 1, 2, 3, 4, 5 } B= { 4, 5, 6 ,7, 8 }
A ∩ B = { 4, 5 }
LA PARTE COLOREADA DE AZUL ES LA INTERSECCIÓN.
NOTA: Dos conjuntos que no tienen nada en
común se llaman DISYUNTOS
Diferencia de conjuntos: La Diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A – B, que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B.
EJEMPLO:
Si A={ rojo, amarillo, azul } B= { violeta, verde} A-B={ rojo, amarillo, azul }
Diferencia simétrica de conjuntos: La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A ⊕ B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado
por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos.
EJEMPLO:
A={
1, 2, 3, 4 } B= { 4, 5 } A ⊕ B = { 1, 2, 3, 5 }
Complementos de un conjunto: El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U,denota
A΄, es el conjunto de
elementos de U que no pertenecen a A.
EJEMPLO:
Si el conjunto universal es U = { a, b, c, d, e } y A = { b, c, d }, entonces el complementario de A respecto de U está formado por los elementos del universal que no estén en A, esto es:
Al = { a, e }
Los conjuntos { a, e } y { b, c, d } son complementarios.
En la figura de abajo, está señalado en verde el conjunto Al.
CONJUNTOS NÚMERICOS
Números naturales: Es la colección de Objetos matemáticos representados por los
símbolos 1, 2, 3, 4, …., etc. Llamados números para contar.
Números enteros: Los números enteros abarca los
números negativos incluyendo en cero y los números positivos.
Números Racionales: Es el conjunto formado por todos los números racionales e
irracionales
Números Irracionales: Es la colección de números de la forma a + bi, donde a y b son números
reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la
propiedad.
LINK DE LOS VIDEOS DE EJEMPLO DE TEORÍA DE CONJUNTOS:
Comentarios
Publicar un comentario